Главная » Правильные ответы

Объем данного правильного тетраэдра 2



Объем тетраэдра

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D. не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC. В результате получим треугольники ADC. CDB. ABD. Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC. ADC. CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC.
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани. 6 ребер и 4 вершины .
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием. а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Таким образом, тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

,

  • S – площадь любой грани,
  • H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр #8212; частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

  • Все грани равны.
  • Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60
  • Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180
  • Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a. DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM. где DH. являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа квадратный корень применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак .

Теория

(теоретические сведения см. также в уроке Правильный тетраэдр )

Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида у которой все грани являются равносторонними треугольниками.

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Основные формулы для правильного тетраэдра приведены в таблице.

Где:
S - Площадь поверхности правильного тетраэдра
V - объем
h - высота, опущенная на основание
r - радиус вписанной в тетраэдр окружности
R - радиус описанной окружности
a - длина ребра

Практические примеры

Задача.
Найдите площадь поверхности треугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно √3

Решение.
Поскольку все ребра треугольной пирамиды равны - она является правильной. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна S = a 2 √3.
Тогда
S = 3√3

Задача.
Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем пирамиды

Решение.
Поскольку в правильной треугольной пирамиде высота пирамиды проецируется в центр основания, который одновременно является центром описанной окружности, то

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

Таким образом, высота пирамиды OM может быть найдена из прямоугольного треугольника AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - ( 4√3 / 3 ) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Объем пирамиды найдем по формуле V = 1/3 Sh
При этом площадь основания найдем по формуле S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16 ) ( 4√2 / √3 )
V = 16√2 / 3

Ответ. 16√2 / 3 см

Решение задач с пирамидами (разные задачи)!

Здравствуйте, Дорогие друзья! В данной статье продолжим рассматривать задачи с пирамидами. Их нельзя отнести к какому-то классу или типу заданий, и дать общие рекомендации для решения. Я просто собрал оставшиеся задачи, не рассматриваемые ранее, и решил изложить их в одной статье.

Перечислю теорию, которую необходимо освежить в памяти перед решением: формула объёма пирамиды, свойства подобия фигур и тел, свойства правильных пирамид, теорема Пифагора, формула площади треугольника (в этой статье она вторая). Рассмотрим задачи:

От треугольной пирамиды, объем которой равен 80, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади её основания и высоты:

Данные пирамиды (исходная и отсечённая) имеют общую высоту, поэтому их объемы соотносятся как площади их оснований. Средняя линия от исходного треугольника отсекает треугольник площадь которого в четыре раза меньше, то есть:

Подробнее об этом можно посмотреть здесь.

Это означает, что объём отсечённой пирамиды будет в четыре раза меньше.

Таким образом, он будет равен 20.

* Посмотрите решение аналогичной задачи, использована формула площади треугольника.

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1. 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Постоим пирамиду, обозначим вершины. Отметим на ребре AS точку Е, так чтобы AE была в два раза больше ES (в условии сказано, что ES относится к AE как 1 к 2), и построим указанную плоскость проходящую, через ребро АС и точку Е:

Проанализируем объём какой пирамиды будет больше: EABC или SEBC?

*Объём пирамиды равен одной трети произведения площади её основания и высоты:

Если рассмотреть две полученные пирамиды и в обеих принять за основание грань ЕВС, то становится очевидно, то объём пирамиды АЕВС будет больше объёма пирамиды SEBC. Почему?

Расстояние от точки А до плоскости ЕВС больше чем расстояние от точки S. А это расстояние играет у нас роль высоты.

Итак, найдём объём пирамиды ЕАВС.

Объём исходной пирамиды нам дан, основание у пирамид SАВС и ЕАВС общее. Если мы установим соотношение высот, то без труда сможем определить объём.

Из отношения отрезков ES и AE следует, что АЕ равно две третьих ES. Высоты пирамид SАВС и ЕАВС находятся в такой же зависимости - высота пирамиды ЕАВС будет равна 2/3 высоты пирамиды SАВС.

Таким образом, если

Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания. Выполним дополнительные построения:

Найти боковое ребро мы можем из прямоугольного треугольника SOC. Для этого нужно знать SO и ОС.

SO это высота пирамиды, её мы можем вычислить используя формулу объёма:

Вычислим площадь основания. это правильный шестиугольник со стороной равной 1. Площадь правильного шестиугольника равна площади шести равносторонних треугольников с такой же стороной, подробнее об этом изложено здесь (п.6), итак:

ОС = ВС = 1, так как в правильном шестиугольнике отрезок соединяющий его центр с вершиной равен стороне этого шестиугольника.

Таким образом, по теореме Пифагора:

Объ ем тетраэдра равен 200. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра.

Объем указанного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра V0 и четырех равных тетраэдров, каждый из которых получается отсечением плоскостью, проходящей через середины рёбер, имеющих общую вершину:

Определим, чему равен объём отсеченного тетраэдра.

Отметим, что исходный тетраэдр и «отсечённый» тетраэдр являются подобными телами. Известно, что отношение объёмов подобных тел равно k 3. где k - коэффициент подобия. В данном случае он равен 2 (так как все линейные размеры исходного тетраэдра в два раза больше соответствующих размеров отсечённого):

Вычислим объём отсечённого тетраэдра:

Таким образом, искомый объём будет равен:

Площадь поверхности тетраэдра равна 120. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра.

Искомая поверхность состоит из 8 равносторонних треугольников со стороной, вдвое меньшей ребра исходного тетраэдра. Поверхность исходного тетраэдра состоит из 16-ти таких треугольников (на каждой из 4 граней тетраэдра по 4 треугольника), поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности данного тетраэдра и равна 60.

Так как известна площадь поверхности тетраэдра, то мы можем найти его ребро, затем определить длину ребра многогранника и далее вычислить площадь его поверхности.

Площадь поверхности тетраэдра состоит из четырёх равных по площади правильных треугольников. Пусть сторона такого треугольника (ребро тетраэдра) равна а, тогда можем записать:

Ребра многогранника равны его половине ребра тетраэдра, то есть:

*Они проходят через середины рёбер тетраэдра.

Многогранник имеет восемь равных граней являющихся правильными треугольниками, значит его площадь поверхности будет равна:

*Данное решение алгебраическое и рациональным его назвать никак нельзя, представлено как альтернативный вариант.

27115. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

27175. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

27214. Объем тетраэдра равен 1,9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра.

А теперь для поднятия настроения ролик. Оказывается, что песня не только людей объединяет, но и животных 😉

На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

  • Векторы
  • Вероятность
  • Видеокурсы
  • Вписанный угол, касательная
  • Выражения
  • Графики и диаграммы
  • Движение
  • Конкурсы
  • Координатная плоскость
  • НОВОСТИ
  • Округление
  • Онлайн-обучение
  • ПЕРЕМЕНА
  • Площади фигур
  • Приёмы (фишки)
  • Прогрессия
  • Производная
  • Простые вычисления
  • Простые уравнения
  • Проценты
  • Работа
  • Треугольники
  • Развитие личности
  • Стереом. КОНУС ЦИЛИНДР
  • Стереом. МНОГОГРАННИКИ
  • Стереометрия ПИРАМИДЫ
  • Стереометрия ПРИЗМЫ
  • Стереометрия ШАР
  • Угол на листе в клетку
  • Физические задачи
  • Формулы Теория
  • Функции (MAX MIN)
  • Четырёхугольники
  • №13 (C1) Урав-ия и системы
  • №14 (C2) Геометрия
  • Прототипы заданий 1-12

  • Задачи по номерам

    №1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 №10 №11 №12 №13 №14 Баз №12

    Проект Математика? Легко. . Подготовка к ЕГЭ по математике! Свидетельство СМИ ПИ №ФС77-64081. Все права защищены © 1984-

    Друзья! К вам человеческая просьба: скопировали материал - поставьте ссылку. Спасибо! Александр Крутицких.

    Источники: http://2mb.ru/matematika/geometriya/obem-tetraedra/, http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson264/, http://matematikalegko.ru/piramidi/reshenie-zadach-s-piramidami-raznye-zadachi.html






    Комментариев пока нет!

    Поделитесь своим мнением



  • Как правильно:



    Статьи по теме:

    Правильно надеть чехлы из экокожи

    Как правильно одеть чехлы на сидения далее...

    Как правильно сдать узи брюшной полости

    УЗИ брюшной полости: подготовка к процедуре Подготовка далее...

    Как правильно разработать земельный участок

    Землю довольно скоро можно будет свободно далее...


    Популярные:

    Правильное питание можно есть обед (3)
    Правильное питание приготовить куриную грудку (2)
    Как правильно обшить фундамент дома металлопрофилем (1)
    Как правильно надеть грипсы (1)
    Как правильно зарядить патрон 16 калибра (1)
    Как правильно сдать кровь на пролактин женщине (1)

    Наиболее читаемые:

    Как правильно снять шкуру с кролика видео

    Как правильно забить кролика и когда Забой #8212; процедура далее...

    Как правильно вводить кефир

    Какой кефир можно давать детям до года далее...

    Как правильно удобрять селитрой огурцы

    Секреты удобрения для огурцов Начинающие и опытные огородники знают, далее...