» Как правильно разное

Через вершину b правильного шестиугольника проведена прямая

Шестиугольник - это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.

Выпуклый шестиугольник - это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.

Чему равна сумма углов выпуклого шестиугольника?

Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180 (n-2) и равна 180 ( 6 - 2 ) = 720 градусов. См. теорему о сумме углов многоугольника .

При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник - это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.

Свойства правильного шестиугольника

• все внутренние углы равны между собой
• каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
• все стороны равны между собой
• сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
• правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений

• всі внутрішні кути рівні між собою
• кожен внутрішній кут правильного шестикутника дорівнює 120 градусам
• всі сторони рівні між собою сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу описаного кола
• правильний шестикутник заповнює плоскість без пропусків і накладень

Формулы для правильного шестиугольника

(по порядку следования формул)

• Радиус описанной окружности (R) правильного шестиугольника равен его стороне (t)
• Все внутренние углы равны 120 градусам
• Радиус вписанной окружности (r) равен корню из трех, деленному на два и умноженному на длину стороны t (радиус описанной окружности R)
• Периметр правильного шестиугольника (P) равен шести радиусам описанной окружности (R) или четыре корня из трех, умноженным на радиус вписанной окружности (r)
• Площадь правильного шестиугольника равна трем корням из трех пополам, умноженным на квадрат радиуса описанной окружности (R) или квадрат стороны (t); либо площадь правильного шестиугольника равна двум корням из трех, умноженным на квадрат радиуса вписанной окружности (t)

Задача

Найти объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, каждое ребро которой равно t .

Решение.
Так как высота цилиндра Н равна высоте призмы и равна а . достаточно найти радиус основания цилиндра, который будет равен радиусу окружности, вписанной в правильный шестиугольник.

Знайти об'єм циліндра, вписаного в правильну шестикутну призму, кожне ребро якої дорівнює t .

Рiшення.
Так як висота циліндра Н дорівнює висоті призми і дорівнює а . достатньо знайти радіус основи циліндра, який буде дорівнювати радіусу кола, вписаного в правильний шестикутник.

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего прово­дим стороны 5—6 и 3—2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Решение заданий части С ЕГЭ по математике года МБОУ Мучкапская СОШ Автор учитель математики Мишина О.В. - презентация

Презентация по предмету Математика на тему: Решение заданий части С ЕГЭ по математике года МБОУ Мучкапская СОШ Автор учитель математики Мишина О.В. . Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1 Решение заданий части С ЕГЭ по математике года МБОУ Мучкапская СОШ Автор учитель математики Мишина О.В.

3 С2. С2. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, стороны оснований которой равны 3, а боковые рёбра 4, найдите угол между прямой АВ 1 и плоскостью BDD 1. А С В D А1А1 С1С1 В1В1 D1D1 O 3 4 Решение. Так как О середина отрезка BD, то АО (BDD 1 ). AB 1 О – искомый. АО = ; АВ 1 = 5 (в п/у АВВ 1 ). sin AB 1 О = AO. AB 1 = AB 1 О = arcsin 2 3 2 10 3 2 10 3 2 Ответ: arcsin. 10 3 2

5 С4. С4. Через вершину В правильного шестиугольника ABCDEF проведена прямая, пересекающая диагональ CF в точке К. известно, что прямая разбивает шестиугольник на части, площади которых относятся как 1. 2. Найдите отношение СK. KF. Решение. Пусть О – центр правильного шестиугольника ABCDEF, S – его площадь. Тогда S ABEF = S BCDE = ½S S ABF = S BCD = S 1 случай (К между F и О) S BEF = S – S BCDE – S ABF = S – ½S – S = S. Пусть S BМF = xS, тогда S BМЕ = S – xS По условию S ABМF. S BCDEМ = 1. 2 А С В D E K O F M S ABМF. S BCDEМ = (S + xS). (½S + (S – xS)) = 1. 2 ( + x). (½ + – x) = 1. 2, откуда x =. Т.е. S BМF = S BМЕ = S ВМ – медиана, FM = ME. Из подобия треугольников MKF и BKC BC. FM = CK. KF = 2. 1.

6 С4. С4. Через вершину В правильного шестиугольника ABCDEF проведена прямая, пересекающая диагональ CF в точке К. известно, что прямая разбивает шестиугольник на части, площади которых относятся как 1. 2. Найдите отношение СK. KF. Решение. 2 случай (К между C и О) По условию S BCDN. S ABNEF = 1. 2 S BDE = S – S BCD – S ABEF = S – ½S – S = S. Аналогично, S BDN = S BЕN = S, значит ВN – медиана, EN = DN OK = KL = ¼OC = ½LC, KC = ¾OC CK. KF = 3. 5. А С В D E K O F N L Ответ: 2. 1 или 3. 5.

0, то либо x 0, y 0, либо x 0, то либо x 0, y 0, либо x 7 С5. С5. Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет единственное решение. Решение. т.к. xy 0, то либо x 0, y 0, либо x 0, то либо x 0, y 0, либо x 0, то либо x 0, y 0, либо x 0, то либо x 0, y 0, либо x 0, то либо x 0, y 0, либо x 0, то либо x 0, y 0, либо x 0, то либо x 0, y 0, либо x

8 С5. С5. Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет единственное решение. 2 случай: Ищем дискриминант: Система (2) имеет решение, если D 2 0, т.е. при

9 С5. С5. Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет единственное решение. Совместим полученные решения: а 4 решения 2 решения 3 решения 1 решение Ответ:

10 Решение. а) Да, может. Например, сумма любых двадцати семи чисел из набора 5, 4, 3, 2, …, 2, 1, …, 1 не больше, чем 5 + 4 + 3 + 2 17 + 7 = 53, и их среднее арифметическое меньше 2. б) Нет, не может. Выпишем все числа слева направо в порядке убывания и рассмотрим первые 27 чисел, считая слева. Их сумма S меньше 54. Пусть количество единиц среди них равно x. Тогда 53 S x + 2(24 x) + 3 + 4 + 5, x 7, то есть среди выбранных 27 чисел всегда есть семь единиц. Каждое из оставшихся шести чисел равно 1, и поэтому во всём наборе есть как минимум тринадцать единиц. 17 13 С6. С6. Набор состоит из тридцати трёх натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых двадцати семи чисел этого набора меньше 2. а) Может ли такой набор содержать ровно тринадцать единиц? б) Может ли такой набор содержать менее тринадцати единиц? в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.

11 Решение. в) Используя тринадцать единиц и числа 3, 4, 5, можно составить все суммы от 1 до 25. Если среди оставшихся семнадцати чисел есть число от 3 до 27, то его можно добавить и получить в сумме 28. Если среди оставшихся семнадцати чисел нет чисел от 3 до 27, то каждое из них или равно 1, или равно 2, или больше 27. Так как сумма этих семнадцати чисел не больше 53, то только одно из чисел может быть больше 27. Значит, в этом случае как минимум шестнадцать чисел равны 1 или 2. Используя их и тринадцать единиц, всегда можно получить сумму, равную 28. Ответ: а) да; б) нет. С6. С6. Набор состоит из тридцати трёх натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых двадцати семи чисел этого набора меньше 2. а) Может ли такой набор содержать ровно тринадцать единиц? б) Может ли такой набор содержать менее тринадцати единиц? в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.

Источники: http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson669/, http://www.nacherchy.ru/postroenie_pravilnich_mnogougolnikov.html, http://www.myshared.ru/slide/555367/

Комментариев пока нет!

Поделитесь своим мнением